Calculadora de Subconjuntos

Un subconjunto es un conjunto donde cada elemento también está contenido en otro conjunto (el superconjunto). Si A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}, entonces A es un subconjunto de B ya que ambos elementos de A (1 y 2) también están en B. Esto se escribe como A ⊆ B. El conjunto vacío ∅ se considera subconjunto de todo conjunto, y todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Para calcular el número de subconjuntos, usa la fórmula 2ⁿ, donde n es el número de elementos en el conjunto. Por ejemplo, un conjunto con 4 elementos tiene 2⁴ = 16 subconjuntos. Esto funciona porque cada elemento tiene 2 opciones: estar o no estar en un subconjunto, dando 2 × 2 × ... × 2 (n veces) = 2ⁿ combinaciones.

Un subconjunto (⊆) puede ser igual al conjunto original, mientras que un subconjunto propio (⊂) debe ser estrictamente menor y no puede ser igual al conjunto original. Para el conjunto {1, 2, 3}: el subconjunto {1, 2, 3} es un subconjunto impropio (igual al original), mientras que {1, 2}, {1} y ∅ son todos subconjuntos propios. Un conjunto con n elementos tiene 2ⁿ - 1 subconjuntos propios.

El conjunto potencia P(A) es el conjunto que contiene todos los subconjuntos posibles de A, incluyendo el conjunto vacío y A mismo. Para encontrarlo: (1) Comienza con el conjunto vacío ∅, (2) Lista todos los subconjuntos de 1 elemento, (3) Lista todos los subconjuntos de 2 elementos, y continúa hasta (4) incluir el conjunto completo. Para A = {a, b}, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. El conjunto potencia siempre tiene 2ⁿ elementos.

¡Sí! El conjunto vacío (∅) es subconjunto de todo conjunto, incluso de sí mismo. Esta es una "verdad vacía" en lógica — la afirmación "cada elemento de ∅ está en A" es verdadera porque no hay elementos en ∅ que puedan violar esta condición. Por lo tanto, ∅ ⊆ {1, 2, 3}, ∅ ⊆ {a, b}, e incluso ∅ ⊆ ∅ son todas afirmaciones verdaderas.

Para verificar si A ⊆ B, comprueba que cada elemento de A también esté en B. Revisa cada elemento de A uno por uno y verifica si está en B. Si cualquier elemento de A no se encuentra en B, entonces A no es subconjunto de B. Ejemplo: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} es verdadero (tanto 1 como 2 están en B), pero {1, 4} ⊆ {1, 2, 3} es falso (4 no está en B).

El símbolo ⊆ significa "es subconjunto de" y permite que los conjuntos sean iguales (A ⊆ A es verdadero). El símbolo ⊂ significa "es subconjunto propio de" y requiere que A sea estrictamente menor que B (A ⊂ A es falso). Algunos libros de texto usan ⊂ para subconjuntos normales, así que siempre verifica la convención de tu curso. La notación ⊊ significa inequívocamente subconjunto propio en todas las convenciones.

Un conjunto con n elementos tiene C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) subconjuntos de tamaño k. Este es el coeficiente binomial, también conocido como "n sobre k". Por ejemplo, un conjunto con 5 elementos tiene C(5, 2) = 10 subconjuntos con exactamente 2 elementos. La suma de todos los C(n, k) para k = 0 hasta n es igual a 2ⁿ, el número total de subconjuntos.

Un subconjunto impropio es un subconjunto que es igual al conjunto original. Todo conjunto tiene exactamente un subconjunto impropio: él mismo. Para A = {1, 2, 3}, el subconjunto impropio es {1, 2, 3}. Todos los demás subconjuntos (∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}) son subconjuntos propios. El número de subconjuntos impropios siempre es 1, independientemente del tamaño del conjunto.

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