Calculadora de Subconjuntos

Um subconjunto é um conjunto em que cada elemento também pertence a outro conjunto (o superconjunto). Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}, então A é um subconjunto de B porque ambos os elementos de A (1 e 2) também estão em B. Escrevemos isso como A ⊆ B. O conjunto vazio ∅ é considerado um subconjunto de todo conjunto, e todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

Para calcular a quantidade de subconjuntos, use a fórmula 2ⁿ, onde n é o número de elementos do conjunto. Por exemplo, um conjunto com 4 elementos tem 2⁴ = 16 subconjuntos. Isso funciona porque cada elemento tem 2 escolhas: estar ou não estar no subconjunto, dando 2 × 2 × ... × 2 (n vezes) = 2ⁿ combinações.

Um subconjunto (⊆) pode ser igual ao conjunto original, enquanto um subconjunto próprio (⊂) deve ser estritamente menor e não pode ser igual ao conjunto original. Para o conjunto {1, 2, 3}: o subconjunto {1, 2, 3} é um subconjunto impróprio (igual ao original), enquanto {1, 2}, {1} e ∅ são todos subconjuntos próprios. Um conjunto com n elementos tem 2ⁿ - 1 subconjuntos próprios.

O conjunto das partes P(A) é o conjunto contendo todos os subconjuntos possíveis de A, incluindo o conjunto vazio e o próprio A. Para encontrá-lo: (1) Comece com o conjunto vazio ∅, (2) Liste todos os subconjuntos de 1 elemento, (3) Liste todos os subconjuntos de 2 elementos, e continue até (4) incluir o conjunto completo. Para A = {a, b}, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. O conjunto das partes sempre contém 2ⁿ elementos.

Sim! O conjunto vazio (∅) é subconjunto de todo conjunto, incluindo ele mesmo. Esta é uma "verdade por vacuidade" em lógica — a afirmação "todo elemento de ∅ está em A" é verdadeira porque não há elementos em ∅ que possam violar essa condição. Portanto, ∅ ⊆ {1, 2, 3}, ∅ ⊆ {a, b} e até mesmo ∅ ⊆ ∅ são todas afirmações verdadeiras.

Para verificar se A ⊆ B, verifique se cada elemento de A também pertence a B. Percorra cada elemento de A um por um e verifique se está em B. Se qualquer elemento de A não for encontrado em B, então A não é subconjunto de B. Exemplo: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} é verdadeiro (1 e 2 estão em B), mas {1, 4} ⊆ {1, 2, 3} é falso (4 não está em B).

O símbolo ⊆ significa "está contido em" ou "é subconjunto de" e permite que os conjuntos sejam iguais (A ⊆ A é verdadeiro). O símbolo ⊂ significa "está contido propriamente em" ou "é subconjunto próprio de" e requer que A seja estritamente menor que B (A ⊂ A é falso). Alguns livros usam ⊂ para subconjuntos comuns, então sempre verifique a convenção do seu curso. A notação ⊊ significa inequivocamente subconjunto próprio em todas as convenções.

Um conjunto com n elementos tem C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) subconjuntos de tamanho k. Este é o coeficiente binomial, também conhecido como "n escolhe k". Por exemplo, um conjunto de 5 elementos tem C(5, 2) = 10 subconjuntos com exatamente 2 elementos. A soma de todos os C(n, k) para k = 0 até n é igual a 2ⁿ, o número total de subconjuntos.

Um subconjunto impróprio é um subconjunto que é igual ao conjunto original. Todo conjunto tem exatamente um subconjunto impróprio: ele mesmo. Para A = {1, 2, 3}, o subconjunto impróprio é {1, 2, 3}. Todos os outros subconjuntos (∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}) são subconjuntos próprios. O número de subconjuntos impróprios é sempre 1, independentemente do tamanho do conjunto.

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