Calculateur de Sous-ensembles

Un sous-ensemble (ou partie) est un ensemble dont chaque élément appartient également à un autre ensemble (le sur-ensemble). Si A = {1, 2} et B = {1, 2, 3}, alors A est un sous-ensemble de B car les deux éléments de A (1 et 2) sont aussi dans B. On écrit A ⊆ B. L'ensemble vide ∅ est considéré comme sous-ensemble de tout ensemble, et tout ensemble est sous-ensemble de lui-même.

Pour calculer le nombre de sous-ensembles, utilisez la formule 2ⁿ, où n est le nombre d'éléments de l'ensemble. Par exemple, un ensemble à 4 éléments possède 2⁴ = 16 sous-ensembles. Cela fonctionne car chaque élément a 2 choix : être ou ne pas être dans un sous-ensemble, donnant 2 × 2 × ... × 2 (n fois) = 2ⁿ combinaisons.

Un sous-ensemble (⊆) peut être égal à l'ensemble original, tandis qu'une partie propre (⊂) doit être strictement plus petite et ne peut pas être égale à l'ensemble original. Pour l'ensemble {1, 2, 3} : le sous-ensemble {1, 2, 3} est une partie impropre (égal à l'original), tandis que {1, 2}, {1} et ∅ sont tous des parties propres. Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ - 1 parties propres.

L'ensemble des parties P(A) est l'ensemble contenant tous les sous-ensembles possibles de A, incluant l'ensemble vide et A lui-même. Pour le trouver : (1) Commencez par l'ensemble vide ∅, (2) Listez tous les sous-ensembles à 1 élément, (3) Listez tous les sous-ensembles à 2 éléments, et continuez jusqu'à (4) inclure l'ensemble complet. Pour A = {a, b}, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. L'ensemble des parties contient toujours 2ⁿ éléments.

Oui ! L'ensemble vide (∅) est sous-ensemble de tout ensemble, y compris de lui-même. C'est une « vérité par vacuité » en logique — l'affirmation « chaque élément de ∅ est dans A » est vraie car il n'y a aucun élément dans ∅ qui pourrait violer cette condition. Donc, ∅ ⊆ {1, 2, 3}, ∅ ⊆ {a, b}, et même ∅ ⊆ ∅ sont toutes des affirmations vraies.

Pour vérifier si A ⊆ B, vérifiez que chaque élément de A appartient également à B. Parcourez chaque élément de A un par un et vérifiez s'il est dans B. Si un élément quelconque de A ne se trouve pas dans B, alors A n'est pas un sous-ensemble de B. Exemple : {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} est vrai (1 et 2 sont tous deux dans B), mais {1, 4} ⊆ {1, 2, 3} est faux (4 n'est pas dans B).

Le symbole ⊆ signifie « est inclus dans » ou « est sous-ensemble de » et permet aux ensembles d'être égaux (A ⊆ A est vrai). Le symbole ⊂ signifie « est strictement inclus dans » ou « est partie propre de » et exige que A soit strictement plus petit que B (A ⊂ A est faux). Certains manuels utilisent ⊂ pour les sous-ensembles ordinaires, donc vérifiez toujours la convention de votre cours. La notation ⊊ signifie sans ambiguïté partie propre dans toutes les conventions.

Un ensemble à n éléments possède C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) sous-ensembles de taille k. C'est le coefficient binomial, aussi connu sous le nom de « k parmi n ». Par exemple, un ensemble de 5 éléments possède C(5, 2) = 10 sous-ensembles ayant exactement 2 éléments. La somme de tous les C(n, k) pour k = 0 jusqu'à n est égale à 2ⁿ, le nombre total de sous-ensembles.

Une partie impropre est un sous-ensemble qui est égal à l'ensemble original. Tout ensemble possède exactement une partie impropre : lui-même. Pour A = {1, 2, 3}, la partie impropre est {1, 2, 3}. Tous les autres sous-ensembles (∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}) sont des parties propres. Le nombre de parties impropres est toujours 1, quelle que soit la taille de l'ensemble.

Oui ! Ce calculateur de sous-ensembles est 100% gratuit sans inscription. Utilisez-le de manière illimitée sur n'importe quel appareil — ordinateur, tablette ou mobile. Tous les calculs sont effectués instantanément dans votre navigateur sans stocker de données sur nos serveurs. Parfait pour les étudiants en théorie des ensembles, les enseignants préparant des exemples, et tous ceux qui travaillent avec les mathématiques discrètes ou la combinatoire !