Teilmengen-Rechner

Eine Teilmenge ist eine Menge, bei der jedes Element auch in einer anderen Menge (der Obermenge) enthalten ist. Wenn A = {1, 2} und B = {1, 2, 3}, dann ist A eine Teilmenge von B, da beide Elemente von A (1 und 2) auch in B sind. Man schreibt dies als A ⊆ B. Die leere Menge ∅ gilt als Teilmenge jeder Menge, und jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.

Um die Anzahl der Teilmengen zu berechnen, verwende die Formel 2ⁿ, wobei n die Anzahl der Elemente in der Menge ist. Zum Beispiel hat eine Menge mit 4 Elementen 2⁴ = 16 Teilmengen. Dies funktioniert, weil jedes Element 2 Möglichkeiten hat: entweder es ist in einer Teilmenge enthalten oder nicht, was 2 × 2 × ... × 2 (n-mal) = 2ⁿ Kombinationen ergibt.

Eine Teilmenge (⊆) kann gleich der Ausgangsmenge sein, während eine echte Teilmenge (⊂) echt kleiner sein muss und nicht gleich der Ausgangsmenge sein darf. Für die Menge {1, 2, 3}: die Teilmenge {1, 2, 3} ist eine unechte Teilmenge (gleich dem Original), während {1, 2}, {1} und ∅ alle echte Teilmengen sind. Eine Menge mit n Elementen hat 2ⁿ - 1 echte Teilmengen.

Die Potenzmenge P(A) ist die Menge, die alle möglichen Teilmengen von A enthält, einschließlich der leeren Menge und A selbst. Um sie zu finden: (1) Beginne mit der leeren Menge ∅, (2) Liste alle 1-Element-Teilmengen auf, (3) Liste alle 2-Element-Teilmengen auf, und fahre fort bis (4) du die vollständige Menge einschließt. Für A = {a, b} ist P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. Die Potenzmenge hat immer 2ⁿ Elemente.

Ja! Die leere Menge (∅) ist eine Teilmenge jeder Menge, auch von sich selbst. Dies ist eine "leere Wahrheit" in der Logik — die Aussage "jedes Element von ∅ ist in A" ist wahr, weil es keine Elemente in ∅ gibt, die diese Bedingung verletzen könnten. Daher sind ∅ ⊆ {1, 2, 3}, ∅ ⊆ {a, b} und sogar ∅ ⊆ ∅ alles wahre Aussagen.

Um zu prüfen, ob A ⊆ B, überprüfe, dass jedes Element in A auch in B enthalten ist. Gehe jedes Element von A einzeln durch und prüfe, ob es in B vorkommt. Wenn auch nur ein Element von A nicht in B gefunden wird, dann ist A keine Teilmenge von B. Beispiel: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ist wahr (sowohl 1 als auch 2 sind in B), aber {1, 4} ⊆ {1, 2, 3} ist falsch (4 ist nicht in B).

Das Symbol ⊆ bedeutet "ist Teilmenge von" und erlaubt, dass die Mengen gleich sind (A ⊆ A ist wahr). Das Symbol ⊂ bedeutet "ist echte Teilmenge von" und erfordert, dass A echt kleiner als B ist (A ⊂ A ist falsch). Manche Lehrbücher verwenden ⊂ für normale Teilmengen, also prüfe immer die Konvention deines Kurses. Die Notation ⊊ bedeutet in allen Konventionen eindeutig echte Teilmenge.

Eine Menge mit n Elementen hat C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) Teilmengen der Größe k. Dies ist der Binomialkoeffizient, auch "n über k" genannt. Zum Beispiel hat eine Menge mit 5 Elementen C(5, 2) = 10 Teilmengen mit genau 2 Elementen. Die Summe aller C(n, k) für k = 0 bis n ergibt 2ⁿ, die Gesamtzahl der Teilmengen.

Eine unechte Teilmenge ist eine Teilmenge, die gleich der Ausgangsmenge ist. Jede Menge hat genau eine unechte Teilmenge: sich selbst. Für A = {1, 2, 3} ist die unechte Teilmenge {1, 2, 3}. Alle anderen Teilmengen (∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}) sind echte Teilmengen. Die Anzahl der unechten Teilmengen ist immer 1, unabhängig von der Größe der Menge.

Ja! Dieser Teilmengen-Rechner ist 100% kostenlos ohne Registrierung. Nutze ihn unbegrenzt auf jedem Gerät — Desktop, Tablet oder Handy. Alle Berechnungen erfolgen sofort in deinem Browser, ohne dass Daten auf unseren Servern gespeichert werden. Perfekt für Schüler, die Mengenlehre lernen, Lehrer, die Beispiele erstellen, und alle, die mit diskreter Mathematik oder Kombinatorik arbeiten!