Wurzelrechner Online

Eine Quadratwurzel einer Zahl x ist ein Wert, der mit sich selbst multipliziert x ergibt. Sie wird durch das Symbol √ dargestellt. Zum Beispiel: √9 = 3, weil 3 × 3 = 9. Zur Berechnung einer Quadratwurzel kannst du Primfaktorzerlegung verwenden (in Primfaktoren zerlegen und paarweise gruppieren), sukzessive Approximation oder unseren Online-Rechner, der dir sofortige exakte und dezimale Ergebnisse mit 8 Dezimalstellen Genauigkeit liefert. Jede positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln: eine positive (Hauptwurzel) und eine negative, aber per Konvention bezieht sich √ auf die positive Wurzel.

Eine Kubikwurzel von x ist der Wert, der dreimal mit sich selbst multipliziert x ergibt. Sie wird als ∛x oder x^(1/3) geschrieben. Zum Beispiel: ∛27 = 3, weil 3 × 3 × 3 = 27. Im Gegensatz zu Quadratwurzeln können Kubikwurzeln auch für negative Zahlen im reellen Zahlensystem berechnet werden: ∛(-8) = -2, weil (-2) × (-2) × (-2) = -8. Das liegt daran, dass eine negative Zahl ungerade oft multipliziert ein negatives Ergebnis liefert.

Eine n-te Wurzel (ⁿ√x) ist ein Wert, der zur Potenz n erhoben x ergibt. Sie kann als x^(1/n) geschrieben werden. Zum Beispiel: ⁴√16 = 2, weil 2⁴ = 16. N-te Wurzeln werden in vielen Bereichen verwendet: Berechnung von CAGR (durchschnittliche jährliche Wachstumsrate) in der Finanzwelt mit der Formel (Endwert/Anfangswert)^(1/n) - 1, Normalisierung von Vektoren in der Spieleprogrammierung, Berechnung geometrischer Mittel in der Statistik und Lösung von Polynomgleichungen. Wurzeln mit geradem Index (4., 6., usw.) erfordern nicht-negative Radikanden, während Wurzeln mit ungeradem Index für jede reelle Zahl funktionieren.

Um eine Wurzel zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1) Faktorisiere den Radikanden in Primfaktoren mit einem Faktorbaum, 2) Gruppiere die Faktoren nach dem Wurzelindex (Paare für √, Dreier für ∛), 3) Extrahiere einen Faktor für jede vollständige Gruppe außerhalb der Wurzel, 4) Multipliziere die extrahierten Faktoren zum Koeffizienten, 5) Belasse die restlichen Faktoren unter der Wurzel. Beispiel: √72 = √(2³ × 3²) = √(36 × 2) = 6√2. Überprüfe immer durch Quadrieren deiner Antwort: (6√2)² = 36 × 2 = 72 ✓

Im reellen Zahlensystem gibt es keine Quadratwurzel einer negativen Zahl, weil keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert ein negatives Ergebnis ergibt (positiv × positiv = positiv, negativ × negativ = positiv). Im komplexen Zahlensystem gilt jedoch √(-1) = i (imaginäre Einheit). Also √(-9) = √(9 × -1) = √9 × √(-1) = 3i. Komplexe Zahlen werden in der Elektrotechnik, Quantenphysik und Signalverarbeitung verwendet. Kubikwurzeln und andere Wurzeln mit ungeradem Index können für negative Zahlen in reellen Zahlen berechnet werden: ∛(-8) = -2.

Quadratzahlen (vollständige Quadrate) sind Zahlen, die durch Quadrieren einer ganzen Zahl entstehen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225... (n², wobei n eine ganze Zahl ist). Ihre Quadratwurzeln sind immer ganze Zahlen. Kubikzahlen (vollständige Kuben) entstehen durch Kubieren einer ganzen Zahl: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000... (n³). Das Erkennen dieser Zahlen hilft beim Kopfrechnen und Vereinfachen von Wurzeln. Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Primfaktoren gerade oft vorkommen.

Um Wurzeln mit dem gleichen Index zu multiplizieren, multipliziere die Radikanden: √a × √b = √(a×b). Zum Dividieren, dividiere die Radikanden: √a ÷ √b = √(a/b). Beispiele: √2 × √8 = √16 = 4. √50 ÷ √2 = √25 = 5. √3 × √12 = √36 = 6. Vereinfache immer das Endergebnis wenn möglich. Hinweis: Du kannst nur Wurzeln mit dem gleichen Index direkt multiplizieren oder dividieren (beide Quadratwurzeln, beide Kubikwurzeln, usw.).

Rationalisieren bedeutet, Wurzeln aus dem Nenner eines Bruchs zu eliminieren. Für einfache Brüche wie 1/√2, multipliziere Zähler und Nenner mit √2: (1×√2)/(√2×√2) = √2/2. Für Ausdrücke mit Binomen wie 1/(√3+1), multipliziere mit der Konjugierten (√3-1)/(√3-1) = (√3-1)/(3-1) = (√3-1)/2. Dies ist Standardpraxis in der Mathematik, um Ergebnisse in kanonischer Form auszudrücken. Rationalisierte Formen sind leichter zu vergleichen und in weiteren Berechnungen zu verwenden.

Wurzeln und Exponenten sind Umkehroperationen, wie Multiplikation und Division. Das Potenzieren multipliziert eine Zahl mehrmals mit sich selbst (3² = 9), während das Wurzelziehen diese Operation umkehrt (√9 = 3). Sie sind durch die Formel verbunden: ⁿ√x = x^(1/n). Das bedeutet, jede Wurzel kann als Potenz mit einem gebrochenen Exponenten ausgedrückt werden: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), ⁴√x = x^(1/4), usw. Diese Beziehung ist grundlegend in Algebra und Analysis.

Ja! Unser Wurzelrechner ist 100% kostenlos ohne Einschränkungen. Du kannst Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und n-te Wurzeln ohne Limits berechnen. Erhalte sofortige Ergebnisse mit Schritt-für-Schritt-Lösungen, automatischer Wurzelvereinachung und 8 Dezimalstellen Genauigkeit. Keine Registrierung, kein Abonnement und keine Installation erforderlich. Funktioniert auf jedem Gerät mit Webbrowser: Computer, Tablets und Smartphones. Perfekt für Schüler, Lehrer, Ingenieure und alle, die mit Wurzeln und Radikalen arbeiten müssen.